题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=x|x-a|+2x-3．
（Ⅰ）当a=4，2≤x≤5时，问x分别取何值时，函数f（x）取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在R上恒为增函数，试求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3．
（1）2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）²+6，
当x=2时，f（x）_min=5；当x=3时，f（x）_max=6．
（2）当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）²-4
当x=4时，f（x）_min=5；当x=5时，f（x）_max=12．
综上所述，当x=2或4时，f（x）_min=5；当x=5时，f（x）_max=12．
（Ⅱ）f(x)=

x2+(2-a)x-3，x≥a -x2+(2+a)x-3，x＜a

=

(x- a-2 2 )2- (a-2)2 4 -3，x≥a -(x- a+2 2 )2+ (a+2)2 4 -3，x＜a

，
f（x）在R上恒为增函数的充要条件是

a-2 2 ≤a a+2 2 ≥a

，解得-2≤a≤2．