题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）若f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若f(-

1

2

)=1，试解关于x的方程f(x)=-

1

2

．

答案

（1）令x=y=0，
∴f（0）=0，令y=-x，有f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（x）为奇函数
（2）∵f(

a+b

1+ab

)=1，f(

a-b

1-ab

)=2，
即

f(a)+f(b)=1 f(a)-f(b)=2

，
解得f(a)=

3

2

，f(b)=-

1

2

．
（3）任间区间（-1，1）上两个数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0
∴

x1-x2

1-x1•x2

＜0
即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=F（

x1-x2

1-x1•x2

）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∵f(-

1

2

)=1∴f(

1

2

)=-1
原方程即为2f(x)=-1⇔f(x)+f(x)=f(

2x

1+x2

)=f(

1

2

)，
∴

2x

1+x2

=

1

2

⇔x2-4x+1=0⇔x=2±

3

又∵x∈(-1，1)∴x=2-

3

故原方程的解为x=2-

3

．