题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=-x²+2x．
（1）证明f（x）在[1，+∞）上是减函数；（2）当x∈[2，5]时，求f（x）的最大值和最小值．

答案

（1）证明：在区间[1，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则有（1分）
f（x₁）-f（x₂）=（-x₁²+2x₁）-（-x₂²+2x₂）=（x₂-x₁）•（x₁+x₂-2），（3分）
∵x₁，x₂∈[1，+∞），x₁＜x₂，（4分）
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂-2＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0（5分）
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在[1，+∞）上是减函数．（6分）
（2）由（1）知f（x）在区间[2，5]上单调递减，
所以f（x）_max=f（2）=0，f（x）_min=f（5）=-15（12分）