题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=

f(x)•f(y)+1

f(y)-f(x)

成立，且f（a）=1（a为正常数），当0＜x＜2a时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）奇偶性；
（2）求f （x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．

答案

（1）∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，
又f（-x）=f[（a-x）-a]
=

f(a-x)•f(a)+1

f(a)-f(a-x)

=

1+f(a-x)

1-f(a-x)

=

1+ f(a)•f(x)+1 f(x)-f(a)

1- f(a)•f(x)+1 f(x)-f(a)

=

2f(x)

-2

=-f(x)，
对于定义域内的每个x值都成立
∴f（x）为奇函数
易证：f（x+4a）=f（x），周期为4a．
（2）f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]
=

f(a)•f(-a)+1

f(-a)-f(a)

=

1-f2(a)

-2f(a)

=0，
f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]
=

f(2a)•f(-a)+1

f(-a)-f(2a)

=

1

-f(a)

=-1．
先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0，
设2a＜x＜3a，则0＜x-2a＜a，
∴f（x-2a）=

f(2a)•f(x)+1

f(2a)-f(2x)

=

1

-f(x)

＞0，∴f（x）＜0
设2a＜x₁＜x₂＜3a，
则0＜x_2-x₁＜a，∴f（x₁）＜0f（x₂）＜0，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x2-x1)

＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在[2a，3a]上单调递减
∴f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a）=0，最小值为f（3a）=-1