已知函数f（x）=x2+ax且f（1）=2，（1）判断并证明f（x）在定义域上的奇偶性．（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）的单调性． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

x2+a

且f（1）=2，
（1）判断并证明f（x）在定义域上的奇偶性．
（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）的单调性．

答案

（1）∵f（x）=

x2+a

，f（1）=2，
∴a=1
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
又∵f（-x）=-x+

-x

=-（x+

）=-f（x），
∴函数f（x）在定义域上是奇函数．
（2）设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

）-（x₂+

）
=（x₁-x₂）+（

）
=（x₁-x₂）（1-

x1x2

）
=（x₁-x₂）（

x1x2-1

x1x2

），
∵1＜x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（1，+∞）是单调递增函数．

核心考点

试题【已知函数f（x）=x2+ax且f（1）=2，（1）判断并证明f（x）在定义域上的奇偶性．（2）判断并证明f（x）在（1，+∞）的单调性．】；主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

若f（x）=1-2x，g[f（x）]=

1-x2

（x≠0），则g（

）的值为（　　）

A．1

B．3

C．15

D．30

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观察数表则f[g（3）-f（-3）]=（　　）

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-3

-2

-3

f（x）

十

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g（x）

十

-2

-十

设a是实数，f(二)=a-

2二+u

(二∈R)．
（u）若函数f（二）为奇函数，求a左值；
（2）试证明：对于任意a，f（二）在R上为单调函数；
（3）若函数f（二）为奇函数，且不等式f（k•3^二）+f（3^二-9^二-2）＜左对任意二∈R恒成立，求实数k左取值范围．

设a为实数，函数f（x）=x|x-a|，其中x∈R．
（1）分别写出当a=0．a=2．a=-2时函数f（x）的单调区间；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明．

设函数f（x）=-cos²x-4tsin

cos

+2t²-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求函数g（t）的表达式；
（2）判断g（t）在[-1，1]上的单调性，并求出g（t）的最值．