题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，
（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点；
（2）设函数G（x）=f（x）-g（x）-1，若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．

答案

（1）证明∵f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m
又∵f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m=0时，
则△=（m-2）²-4（m-3）=（m-4）²≥0恒成立，
所以方程f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m=0有解
函数f（x）-g（x）必有零点
（2）G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m
①令G（x）=0则△=（m-2）²-4（m-2）=（m-2）（m-6）
当△≤0，2≤m≤6时G（x）=-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立
所以，|G（x）|=x²+（2-m）x+m-2，在[-1，0]上是减函数，则2≤m≤6
②△＞0，m＜2，m＞6时|G（x）|=|x²+（2-m）x+m-2|
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数
所以方程x²+（2-m）x+m-2=0的两根均大于0得到m＞6
或者一根大于0而另一根小于0且x=

m-2

2

≤-1，得到m≤0
综合①②得到m的取值范围是（-∞，0]∪[2，+∞）．