题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=2^x
（1）设函数y=f（x）的反函数为y=g（x），求函数y=g（x²-2x-3）的单调递增区间；
（2）求满足不等式f（|x+1|-|x-1|）≥2

2

的x的取值范围．

答案

（1）由f（x）=2^x，得y=g（x）=log₂x，则y=g（x²-2x-3）=log₂（x²-2x-3），
由x²-2x-3＞0，得x＜-1或x＞3，
所以函数y=g（x²-2x-3）的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），
因为y=log₂u单调递增，u=x²-2x-3在（3+∞）上递增，
所以y=log₂（x²-2x-3）的递增区间为（3+∞）；
（2）f（|x+1|-|x-1|）≥2

2

，即2|x+1|-|x-1|≥2

2

，
所以|x+1|-|x-1|≥

3

2

，
①当x≤-1时，不等式可化为-（x+1）-（1-x）≥

3

2

，即-2≥

3

2

，无解；
②当-1＜x≤1时，不等式可化为（x+1）-（1-x）≥

3

2

，即2x≥

3

2

，解得x≥

3

4

，
所以

3

4

≤x≤1；
③当x＞1时，不等式可化为（x+1）-（x-1）≥

3

2

，即2≥

3

2

，
所以x＞1；
综上，x≥

3

4

，即不等式f（|x+1|-|x-1|）≥2

2

的x的取值范围为x≥

3

4

．