题目
题型:解答题难度:一般来源:江苏模拟
a |
x+1 |
(1)若f(x)=lnx+φ(x),且a=
9 |
2 |
(2)在(1)中当a=0时,函数y=f(x)的图象上任意不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为C(x0,y0),记直线AB的斜率为k,试证明:k>f"(x0).
(3)若g(x)=|lnx|+φ(x),且对任意的x1,x2∈(0,2],x1≠x2,都有
g(x2)-g(x1) |
x2-x1 |
答案
1 |
x |
a |
(x+1)2 |
x2+(2-a)x+1 |
x(x+1)2 |
∵a=
9 |
2 |
1 |
2 |
∴函数f(x)的单调增区间为(0,
1 |
2 |
(2)证明:当a=0时f(x)=lnx
∴f′(x)=
1 |
x |
∴f′(x0)=
1 |
x0 |
2 |
x1+x2 |
又k=
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
lnx2-lnx1 |
x2-x1 |
ln
| ||
x2-x1 |
不妨设x2>x1,要比较k与f"(x0)的大小,
即比较
ln
| ||
x2-x1 |
2 |
x1+x2 |
又∵x2>x1,
∴即比较ln
x2 |
x1 |
2(x2-x1) |
x1+x2 |
2(
| ||
|
令h(x)=lnx-
2(x-1) |
x+1 |
则h′(x)=
1 |
x |
4 |
(x+1)2 |
(x-1)2 |
x(x+1)2 |
∴h(x)在[1,+∞)上位增函数.
又
x2 |
x1 |
∴h(
x2 |
x1 |
∴ln
x2 |
x1 |
2(
| ||
|
即k>f"(x0);
(3)∵
g(x2)-g(x1) |
x2-x1 |
∴
g(x2)+x2-[g(x1)+x1] |
x2-x1 |
由题意得F(x)=g(x)+x在区间(0,2]上是减函数.
1°当1≤x≤2,F(x)=lnx+
a |
x+1 |
∴F′(x)=
1 |
x |
a |
(x+1)2 |
由F′(x)≤0⇒a≥
(x+1)2 |
x |
1 |
x |
设m(x)=x2+3x+
1 |
x |
1 |
x2 |
∴m(x)在[1,2]上为增函数,
∴a≥m(2)=
27 |
2 |
2°当0<x<1,F(x)=-lnx+
a |
x+1 |
∴F′(x)=-
1 |
x |
a |
(x+1)2 |
由F′(x)≤0⇒a≥-
(x+1)2 |
x |
1 |
x |
设t(x)=x2+x-
1 |
x |
∴a≥t(1)=0
综上:a的取值范围为a≥
27 |
2 |
核心考点
试题【已知函数ϕ(x)=ax+1,a为正常数.(1)若f(x)=lnx+φ(x),且a=92,求函数f(x)的单调增区间;(2)在(1)中当a=0时,函数y=f(x)】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
A.y=-log2x | B.y=(
| C.y=sinx | D.y=x-
|
(1)求证:函数f(x)在R上是增函数;
(2)若关于x的不等式f(x2-ax+5a)<2的解集为{x|-3<x<2},求f(2009)的值;
(3)在(2)的条件下,设an=|f(n)-14|(n∈N*),若数列{an}从第k项开始的连续20项之和等于102,求k的值.
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