题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=x+log_ax，
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）解不等式log2(x2-x)＜3+x-x2．

答案

解．（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f"（x）=1+

1

xlna

，
当a＞1时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，解得x＞-

1

lna

，由f′（x）＜0，解得0＜x＜-

1

lna

．
所以f（x）在（0，-

1

lna

）上单调递减，在（-

1

lna

，+∞）上单调递增；
综上，当a＞1时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当0＜a＜时，f（x）的减区间是（0，-

1

lna

），增区间是（-

1

lna

，+∞）．
（2）原不等式可化为log2(x2-x)+x2-x＜3．
由（1）知f（t）=t+log₂t在（0，+∞）上是增函数，且f（2）=3，
所以log2(x2-x)+x2-x＜3可化为f（x²-x）＜f（2），
所以0＜x²-x＜2，解得1＜x＜2．
所以原不等式的解集为{x|1＜x＜2}．