题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在实数集R上的偶函数f（x）的最小值为3，且当x≥0时，f（x）=3e^x+a，其中e是自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的解析式．（2）求最大的整数m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤3ex．

答案

（1）∵y=e^x是增函数，∴当x≥0时，f（x）为增函数，又f（x）为偶函数，∴f（x）_min=f（0）=3+a，∴3+a=3．∴a=0
当x＜0时，∵-x＞0∴f（x）=f（-x）=3e^-x
综上，f(x)=

3exx≥0 3e-xx＜0

（2）当x∈[1，m]时，有f（x+t）≤3ex，∴f（1+t）≤3e
当1+t≥0时，3e^1+t≤3e即e^1+t≤e，1+t≤1，∵-1≤t≤0
当1+t≤0时，同理，-2≤t≤-1，∴-2≤t≤0
同样地，f（m+t）≤3em及m≥2，得e^m+t≤em∴et≤

em

em

由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解．
∵e^t在[-2，0]上的最小值为e^-2，∵e-2≤

em

em

，即e^m-e³m≤0①
令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞）．
则g"（x）=e^x-e³由g"（x）=0得x=3
当2≤x＜3时，g"（x）＜0，g（x）是减函数；当x＞3时，g"（x）＞0，g（x）是增函数
∴g（x）的最小值是g（3）=e³-3e³=-2e³＜0，
又g（2）＜0，g（4）＜0，g（5）＞0，
∴g（x）=0在[2，+∞）上有唯一解m₀∈（4，5）．
当2≤x≤m₀时，g（x）≤0，当x＞m₀时，g（x）＞0∴在x∈[2，+∞）时满足不等式①的最大实数解为m₀
当t=-2，x∈[1，m₀]时，f（x-2）-3ex=3e（e^|x-2|-1-x），在x∈[1，2）时，∵e^|x-2|-1=e^1-x≤1∴f（x-2）-3ex≤0，在x∈[2，m₀]时，f（x-2）-3ex=3e(ex-3-x)=

3

e2

g(x)≤0
综上所述，m最大整数为4．