题目
题型:解答题难度:一般来源:沅江市模拟
f(x) |
x |
(1)判断函数F(x)=
f(x) |
x |
(2)设x1,x2∈(0,+∞),比较f(x1)+f(x2)与f(x1+x2)的大小,并证明你的结论;
(3)设x1,x2,…xn∈(0,+∞),若n≥2,比较f(x1)+f(x2)+…+f(xn)与f(x1+x2+…+xn)的大小,并证明你的结论.
答案
f(x) |
x |
xf′(x)-f(x) |
x |
则xf′(x)-f(x)>0,
则F′(x)=
xf′(x)-f(x) |
x2 |
f(x) |
x |
(2)由于x1,x2∈(0,+∞),则0<x1<x1+x2,而F(x)=
f(x) |
x |
f(x1) |
x1 |
f(x1+x2) |
x1+x2 |
∴(x1+x2)f(x1)<x1f(x1+x2)(1),同理 (x1+x2)f(x2)<x2f(x1+x2)(2)
(1)+(2)得:(x1+x2)[f(x1)+f(x2)]<(x1+x2)f(x1+x2),而x1+x2>0,
因此 f(x1)+f(x2)<f(x1+x2).
(3)证法1:由于x1,x2∈(0,+∞),则0<x1<x1+x2+…+xn,而F(x)=
f(x) |
x |
即
f(x1) |
x1 |
f(x1+x2+…+xn) |
x1+x2…+xn |
∴(x1+x2+…+xn)f(x1)>x1f(x1+x2+…+xn)
同理 (x1+x2+…+xn)f(x2)>x2f(x1+x2+…+xn)…(x1+x2+…+xn)f(xn)>xnf(x1+x2+…+xn)
以上n个不等式相加得:(x1+x2+…+xn)[f(x1)+f(x2)+…f(xn)]>(x1+x2+…+xn)f(x1+x2+…+xn)
而x1+x2+…+xn>0,f(x1)+f(x2)+…f(xn)>f(x1+x2+…+xn).
证法2:数学归纳法
①当n=2时,由(2)知,不等式成立;
②当n=k(n≥2)时,不等式f(x1)+f(x2)+…f(xn)>f(x1+x2+…+xn)成立,
即f(x1)+f(x2)+…f(xk)>f(x1+x2+…+xk)成立,
则当n=k+1时,f(x1)+f(x2)+…f(xk)+f(xk+1)>f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)
再由(2)的结论,f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)>f[(x1+x2+…+xk)+xk+1]f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)>f(x1+x2+…+xk+xk+1)
因此不等式f(x1)+f(x2)+…f(xn)>f(x1+x2+…+xn)对任意n≥2的自然数均成立
核心考点
试题【设f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导函数为f"(x),且对任意正数x均有f′(x)>f(x)x,(1)判断函数F(x)=f(x)x在(0,+∞)上的单】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.1 | B.lg3-lg2 | C.-1 | D.lg2-lg3 |
A.n | B.n+1 | C.n-1 | D.n2 |
A.(0,1) | B.(1,3) | C.(1,3] | D.[3,+∞) |
|
f(x) |
x-1 |
(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点,并求出极值点;
(3)若m=1,且x>0,求证:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).
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