题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

对于函数 
(1)判断函数的单调性并证明；  (2)是否存在实数a使函数f (x)为奇函数？并说明理由.

答案

(1)见解析 (2) 故时函数f (x)为奇函数

解析

(1)利用单调性的定义证明：先从定义域Ｒ内任取两个不同的值x₁ , x₂，设设x₁ < x₂ ,然后再确定 f (x₁) – f (x₂)的符号，若是正值，是增函数，若是负值是减函数．因为含有参数b,可能要对b进行讨论．
解：(1)函数f (x)的定义域是R               ……2分
证明：设x₁ < x₂； 
f (x₁) – f (x₂) = a--( a-)=
当  x₁<x₂    得 < 0
得f (x₁) – f (x₂) < 0所以f (x₁) < f (x₂)
故此时函数f (x)在R上是单调增函数；   ……6分
当x₁<x₂    得 0
得f (x₁) – f (x₂)  0所以f (x₁)  f (x₂)
故此时函数f (x)在R上是单调减函数      ……10分
注：用求导法也可证明.
(2) f (x)的定义域是R，
由   ，求得.    …11分
当时，，，
满足条件，故时函数f (x)为奇函数                …14分