题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)求函数在点处的切线方程;
(2)求函数单调增区间;
(3)若存在,使得是自然对数的底数),求实数的取值范围.
答案
解析
试题分析:⑴因为函数,
所以,,
又因为,所以函数在点处的切线方程为.
⑵由⑴,.
因为当时,总有在上是增函数,
又,所以不等式的解集为,
故函数的单调增区间为.
⑶因为存在,使得成立,
而当时,,
所以只要即可.
又因为,,的变化情况如下表所示:
减函数 | 极小值 | 增函数 |
所以在上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值,的最大值为和中的最大值.
因为,
令,因为,
所以在上是增函数.
而,故当时,,即;
当时,,即.
所以,当时,,即,函数在上是增函数,解得;当时,,即,函数在上是减函数,解得.
综上可知,所求的取值范围为.
点评:第一问主要利用导数的几何意义:函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率;第二问求单调增区间主要是通过导数大于零;第三问的不等式恒成立转化为求函数最值,这是函数题经常用到的转化方法,本题第三问有一定的难度
核心考点
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)若,写出函数的单调递增区间(不必证明);
(2)若,当时,求函数在区间上的最小值.
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