题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数满足且．
（1）求证，并求的取值范围；
（2）证明函数在内至少有一个零点；
（3）设是函数的两个零点，求的取值范围．

答案

（1）详见解析，（2）详见解析，（3）.

解析

试题分析：（1）由等量关系消去C是解题思路，揭示a为正数是解题关键，本题是典型题，实质是三个实数和为零，则最大的数必为正数，最小的数必为负数，中间的数不确定，通常被消去，（2）证明区间内有解首选零点存在定理.连续性不是高中数学考核的知识点，重点考核的是区间端点函数值的符号.要确定区间端点函数值的符号，需恰当选择区间端点，这是应用零点存在定理的难点，本题符号确定，但符号不确定．由于两者符号与有关，所以需要对进行讨论，（3）要求的取值范围，需先运用韦达定理建立函数解析式（二次函数），再利用（1）的范围（定义域），求二次函数值域.本题思路简单，但不能忽视定义域在解题中作用.
试题解析：（1）由题意得，
又，          2分
由，得
，，得            5分
（2），
又，
若则，在上有零点；
若则，在上有零点
 函数在内至少有一个零点           9分
（3）

，            13分