题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数，其中为常数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在实数,使的极大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

答案

（1）；（2）不存在.

解析

试题分析：（1）由题意，而曲线在点处的切线的斜率为，因此先求导数，，得，故切线方程为；（2）这种存在性命题都是先假设存在，然后去求参数的值，如能求得，则存在，如求不出，说明假设错误，结论就是不存在，利用导数公式可得，极值点是使的点，本题中可得，由于已知条件是，可分类讨论，时，在上恒成立，即在上单调递减，无极值，当时，，通过讨论在上的符号，确定出的单调性，也即确定出极大值点有，极大值为，接下来考虑的是能否等于2，解方程是不可能的（可以猜测计算出），可讨论函数的单调性，确定其值域或最值。，因此在单调递增，从而，故无解，不存在.
试题解析：（1），，，     1分
，     3分
则曲线在处的切线方程为.     5分
（2）
的根为，     6分
，
当时，，在递减，无极值；   8分
当时，，在递减，在递增；
为的极大值，     10分
令，，
在上递增，，
不存在实数，使的极大值为.     13分