已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），当x∈（0，1）时，f（x） - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

答案

（1）∵对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，
f（1•1）=f（1）+f（1），
则f（1）=0（2分）
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴则f（x₁）-f（x₂）=f（

）
∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜

＜1，又当x∈（0，1）时，f（x）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）=f(

)＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（7分）
（3）令x₁=x₂=4，则f（16）=f（4）+f（4）=2，
令x₁=4，x₂=16，则f（64）=f（4）+f（16）=3（9分）
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3=f（64）
∴

3x+1＞0

2x-6＞0

(3x+1)(2x-6)≤64

∴x∈（3，5]（12分）

核心考点

试题【已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），当x∈（0，1）时，f（x）】；主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）且当x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，给出四个命题：
①f（3）=0； ②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数； ④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=

3x+1	，x≤0
log2x	，x＞0

，若f（x₀）≥1，则x₀的取值范围为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

设f(x)=

1当x为有理数时

0当x为无理数时

，对所有实数x均满足xf（x）≤g（x），那么函数g（x）可以是（　　）

A．g（x）=sinx

B．g（x）=x

C．g（x）=x²

D．g（x）=|x|

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为0的函数，对任意实数x，y有f（x）f（y）=f（x+y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明f（x）恒正；
（Ⅱ）判断f（x）在实数集R上单调性；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=

，a_n=f（n）（n为正整数）．令b_n=f（S_n），问数列{b_n}中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）验证函数f(x)=ln

1-x

1+x

是否满足这些条件；
（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

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