题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x+y |
1+xy |
(Ⅰ)验证函数f(x)=ln
1-x |
1+x |
(Ⅱ)判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性,并加以证明.
答案
1-x |
1+x |
又f(x)+f(y)=ln
1-x |
1+x |
1-y |
1+y |
1-x |
1+x |
1-y |
1+y |
1-x-y+xy |
1+x+y+xy |
1-
| ||
1+
|
x+y |
1+xy |
又当x<0时,1-x>1+x>0,∴
1-x |
1+x |
1-x |
1+x |
故f(x)=ln
1-x |
1+x |
(Ⅱ)∵f(0)+f(0)=f(0)⇒f(0)=0
∴f(-x)+f(x)=f(0)=0⇒f(-x)=-f(x)
∴f(x)在(-1,1)上是奇函数.
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(
x-y |
1-xy |
当-1<x<y<1时,
x-y |
1-xy |
x-y |
1-xy |
即f(x)-f(y)>0∴f(x)在(-1,1)上是减函数.
核心考点
试题【已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy),且当x<0时,f(x)>0.(Ⅰ)验证函数f(】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求f(1)的值;
(2)证明:对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t;
(3)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.
|
对任意的[0,1]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(Ⅰ)证明:对任意的x1,x2∈(0,1),x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x1,1)为含峰区间;
(Ⅱ)对给定的r(0<r<0.5),证明:存在x1,x2∈(0,1),满足x2-x1≥2r,使得由(Ⅰ)确定的含峰区间的长度不大于0.5+r;
(Ⅲ)选取x1,x2∈(0,1),x1<x2由(Ⅰ)可确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,由x3与x1或x3与x2类似地可确定是一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,试确定x1,x2,x3的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).
(1)求f(1)
(2)求证:f(x)为减函数.
(3)当f(4)=-2时,解不等式f(x-3)+f(5)≥-1.
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