题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(Ⅰ)求f(0)的值,并证明f(x)恒正;
(Ⅱ)判断f(x)在实数集R上单调性;
(Ⅲ)设Sn为数列{an}的前n项和,a1=
1 |
3 |
答案
∵当x>0时,有0<f(x)<1,∴f(0)=1.…(2分)
当x<0时,-x>0,∴0<f(-x)<1,
由于f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1
所以f(x)=
1 |
f(-x) |
(Ⅱ)设x1<x2,则x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1
又由(1)可知f(x1)>0
所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)<f(x1)
故f(x)在实数集R上是减函数;…(8分)
(Ⅲ)由题意a1=
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∴a1=f(1)=
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∴数列{an}为以首项a1=
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∴an=(
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2 |
1 |
3n |
由此可知,Sn随着n的增大而增大,再根据(2)可得f(Sn)随着n的增大而减小,
所以数列{bn}为递减数列,
从而存在最大项,其为b1=f(S1)=f(a1)=f(
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[ |
| ||
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核心考点
试题【已知f(x)是定义在实数集R上的不恒为0的函数,对任意实数x,y有f(x)f(y)=f(x+y),当x>0时,有0<f(x)<1.(Ⅰ)求f(0)的值,并证明f】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
x+y |
1+xy |
(Ⅰ)验证函数f(x)=ln
1-x |
1+x |
(Ⅱ)判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性,并加以证明.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t;
(3)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.
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对任意的[0,1]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(Ⅰ)证明:对任意的x1,x2∈(0,1),x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x1,1)为含峰区间;
(Ⅱ)对给定的r(0<r<0.5),证明:存在x1,x2∈(0,1),满足x2-x1≥2r,使得由(Ⅰ)确定的含峰区间的长度不大于0.5+r;
(Ⅲ)选取x1,x2∈(0,1),x1<x2由(Ⅰ)可确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,由x3与x1或x3与x2类似地可确定是一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,试确定x1,x2,x3的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).
(1)求f(1)
(2)求证:f(x)为减函数.
(3)当f(4)=-2时,解不等式f(x-3)+f(5)≥-1.
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