题目

题型：解答题难度：一般来源：北京

设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x^*∈（0，1），使得f（x）在[0，x^•]上单调递增，在[x^•，1]单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x^•为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（Ⅰ）证明：对任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），则（0，x₂）为含峰区间；若f（x₁）≤f（x₂），则（x₁，1）为含峰区间；
（Ⅱ）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x₁，x₂∈（0，1），满足x₂-x₁≥2r，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；
（Ⅲ）选取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x₂）的情况下，试确定x₁，x₂，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34．
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）．

答案

证明：（I）设x*为f（x）的峰点，则由单峰函数定义可知，f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减．
当f（x₁）≥f（x₂）时，假设x*∉（0，x₂），则x₁＜x₂＜x*，从而f（x*）≥f（x₂）＞f（x₁），
这与f（x₁）≥f（x₂）矛盾，所以x*∈（0，x₂），即（0，x₂）是含峰区间．
当f（x₁）≤f（x₂）时，假设x*∉（x₂，1），则x*＜≤x₁＜x₂，从而f（x*）≥f（x₁）＞f（x₂），
这与f（x₁）≤f（x₂）矛盾，所以x*∈（x₁，1），即（x₁，1）是含峰区间．
（II）由（I）的结论可知：
当f（x₁）≥f（x₂）时，含峰区间的长度为l₁=x₂；
当f（x₁）≤f（x₂）时，含峰区间的长度为l₂=1-x₁；
对于上述两种情况，由题意得

x2≤0.5+r 1-x1≤0.5+r

①
由①得1+x₂-x₁≤1+2r，即x₂-x₁≤2r
又因为x₂-x₁≥2r，所以x₂-x₁=2r，②
将②代入①得
x₁≤0.5-r，x₂≥0.5-r，③
由①和③解得x₁=0.5-r，x₂=0.5+r．
所以这时含峰区间的长度l₁=l₁=0.5+r，即存在x₁，x₂使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．
（III）对先选择的x₁；x₂，x₁＜x₂，由（II）可知
x₁+x₂=l，④
在第一次确定的含峰区间为（0，x₂）的情况下，x₃的取值应满足
x₃+x₁=x₂，⑤
由④与⑤可得

x2=1-x1 x3=1-2x1

，
当x₁＞x₃时，含峰区间的长度为x₁．
由条件x₁-x₃≥0.02，得x₁-（1-2x₁）≥0.02，从而x₁≥0.34．
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x₁=0.34，x₂=0.66，x₃=0.32．