题目

题型：单选题难度：一般来源：朝阳区一模

定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d₁，d₂，d₃分别表示不等式f（x）＞g（x），方程f（x）=g（x），不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤2011时，有（　　）

A．d1=1，d2=2，d3=2008	B．d1=1，d2=1，d3=2009
C．d1=3，d2=5，d3=2003	D．d1=2，d2=3，d3=2006

答案

f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1
f（x）＞g（x）⇒[x]x-[x]²＞x-1即（[x]-1）x＞[x]²-1
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＜1，∴x∈[0，1）；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＜0，∴x∈∅；
当x∈[2，2011]时，[x]-1＞0，上式可化为x＞[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2011时的解集为[0，1），故d₁=1
f（x）=g（x）⇒[x]x-[x]²=x-1即（[x]-1）x=[x]²-1
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x=1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0=0，∴x∈[1，2）；
当x∈[2，2011]时，[x]-1＞0，上式可化为x=[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2011时的解集为[1，2），故d₂=1
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；
当x∈[2，2011]时，[x]-1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，2011]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2011时的解集为[2，2011]，故d₃=2009
故选B