题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论；（n∈N^*）
（Ⅲ）若f（1）≥1，求证：f(

1

2n

)＞0(n∈N*)．

答案

（Ⅰ）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0（3分）
（Ⅱ）f（1）=1，

f(2)=f(1+1)=1+1+2=4 f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9 f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16

（2分）
猜想f（n）=n²，下用数学归纳法证明之．
当n=1时，f（1）=1满足条件
假设当n=k时成立，即f（k）=k²
则当n=k+1时f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k²+1+2k=（k+1）²
从而可得当n=k+1时满足条件
对任意的正整数n，都有 f（n）=n²                （5分）
（Ⅲ）f（1）≥1，则f(1)=2f(

1

2

)+2×

1

2

×

1

2

≥1⇒f(

1

2

)≥

1

4

＞0
假设n=k（k∈N^*）时命题成立，即f(

1

2k

)≥

1

22k

＞0，则f(

1

2k

)=2f(

1

2k+1

)+2×

1

2k+1

×

1

2k+1

≥

1

22k

⇒f(

1

2k+1

)≥

1

22(k+1)

，
由上知，则f(

1

2n

)＞0(n∈N*)．（4分）