函数f（x）对任意的实数m、n有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0时有f（x）＞0、（1）求证：f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；（2）若f（1）= - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数f（x）对任意的实数m、n有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0时有f（x）＞0、
（1）求证：f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（2）若f（1）=1，解不等式f[log₂（x²-x-2）]＜2．

答案

（1）证明：设x₂＞x₁，则x₂-x₁＞0、
∵f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+
f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
（2）∵f（1）=1，∴2=1+1=f（1）+f（1）=f（2）
又f[log₂（x²-x-2）]＜2，∴f[log₂（x²-x-2）]＜f（2）
∴log₂（x²-x-2）＜2，于是
∴即-2＜x＜-1或2＜x＜3
∴原不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．

核心考点

试题【函数f（x）对任意的实数m、n有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0时有f（x）＞0、（1）求证：f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；（2）若f（1）=】；主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]

举一反三

某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工2m人（60＜m＜500，且m为10的整数倍），每人每年可创利100千元．据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．问：为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

题型：解答题难度：一般| 查看答案

定义在R上的函数f（x），对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（1）=2，那么下面四个式子：
①f（1）+2f（1）+…+nf（1）；
②f[

n(n+1)

]；
③n（n+1）；
④n（n+1）f（1）．
其中与f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N^*）相等的是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

对于任意定义在R上的函数f（x），若存在x₀∈R满足f（x0）=x0，则称x0是函数f（x）的一个不动点．若函数f（x）=x2+ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是______．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

定义在N^*上的函数f（x），满足f（1）=1且f(n+1)=

f(n)，n为偶数

f(n)，n为奇数

，则f（22）=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

设定义在R上的函数f（x）=

|x-1|

，x≠1

1，x=1.

若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

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