题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
①f(1)=1>f(-1);
②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).
(Ⅰ)求f(0),f(3)的值;
(Ⅱ)判断函数的奇偶性与周期性,并求f2(3x)+f2(3x-1)的值;
(Ⅲ)是否存在常数A,B,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.如果存在,求出常数A,B的值;如果不存在,请说明理由.
答案
∴令x=y=1,得f(1-1+1)=f(1)f(1)+f(0)f(0),
即f(1)=f2(1)+f2(0),
∵f(1)=1,∴f(0)=0,
令x=y=0得,f(1)=f2(0)+f2(-1),
∵f(1)=1>f(-1),∴f(-1)=-1,
令x=0、y=2得,f(3)=f(0)f(2)+f(-1)f(1),
∴f(3)=-f(1)=-1,
(Ⅱ)对f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1),
令y=0,得f(-x+1)=f(x)f(0)+f(x-1)f(-1)
由(1)得,f(-1)=-1,f(0)=0,
∴f(-x+1)=-f(x-1),令x=x+1,即f(-x)=-f(x),
∴函数为奇函数,
令x=-x-1,代入f(-x+1)=-f(x-1),
得f(-x+2)=-f(-x)=f(x),即f(2-x)=f(x),
∴-f(x-2)=f(x),令x=x+2代入得f(x+2)=-f(x),
令x=x+2代入得f(x+4)=f(x),
∴函数的周期是4,
令x=y代入f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1),
得f2(x)+f2(x-1)=1,令x=3x代入得,
∴f2(3x)+f2(3x-1)=1,
(Ⅲ)假设存在常数A,B满足题意,
由(II)得,f(2-x)=f(x),
∴|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2为:|2f(x)+Ax+B|≤2,
令x=-1得,-2≤-2-A+B≤2,即-2≤2+A-B≤2 ①
令x=1得,-2≤2+A+B≤2 ②
令x=3得,-2≤-2+3A+B≤2,即-2≤2-3A-B≤2 ③
①+②得,-4≤A≤0;②+③得,0≤A≤4,则A=0,
将A=0代入①得0≤B≤4;代入②得-4≤B≤0,则B=0,
由(II)得,f2(x)+f2(x-1)=1,
∴当A=B=0时,|2f(x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立,
∴存在唯一一组常数A=B=0,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.
核心考点
试题【已知f(x)定义域为R,满足:①f(1)=1>f(-1);②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).(Ⅰ)求f(0),】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
定义:满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x,y的广义“距离”:
(1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号;
(2)对称性:f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.
给出三个二元函数:①f(x,y)=(x-y)2;②f(x,y)=|x-y|; ③f(x,y)=
x-y |
请选出所有能够成为关于x,y的广义“距离”的序号______.
(1)求f(1),f(4)的值;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)若关于x的不等式f(|x|x+a2x+a)<f(f(4)•x)的解集中最大的整数为2,求实数a的取值范围.
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是减函数.
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