题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x，y的二元函数．
定义：满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x，y的广义“距离”：
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
给出三个二元函数：①f（x，y）=（x-y）²；②f（x，y）=|x-y|； ③f（x，y）=

x-y

．
请选出所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号______．

答案

对于①，不妨令x-y=2，则有x-

x+y

2

=

x+y

2

-y=1，此时有（x-y）²=4，而　（x-

x+y

2

）²=（

x+y

2

-y）²=1，故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不满足三角不等式，故①不满足
对于②，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1）；f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|z-y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3），故②能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数
对于③，由于x-y＞0时，f(y，x)=

y-x​

无意义，故③不满足
故答案为：②