题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

求下列函数的最值
（1）x＞0时，求y=

6

x2

+3x的最小值．
（2）设x∈[

1

9

，27]，求y=log3

x

27

•log3(3x)的最大值．
（3）若0＜x＜1，求y=x⁴（1-x²）的最大值．
（4）若a＞b＞0，求a+

1

b(a-b)

的最小值．

答案

（1）y=y=

6

x2

+3x，
y=

6

x2

+

3

2

x+

3x

2

≥3

3	6 x2 • 3x 2 • 3x 2

=9，
当且仅当

6

x2

=

3x

2

时，取等号，
∴函数的最小值为9．

（2）f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3
令log₃x=t，由x∈[

1

9

，27]，得，t∈[-2，3]
∴y=t²-2t-3，t∈[-2，3]
当t=-2或3时，y_max=5
（3）y=x⁴（1-x²）=4×

1

2

x²•

1

2

x²（1-x²）≤4×(

1 2 x2+ 1 2 x2+1-x2

3

)3=

4

27

，
故y=x⁴（1-x²）的最大值是

4

27

．
（4）∵a＞b＞0
a+

1

b(a-b)

=a-b+b+

1

b(a-b)

≥3=3

3	(a-b)b 1 b(a-b)

=3，
当且仅当a-b=b=

1

b(a-b)

时取等号．
故最大值为：3．