题目

题型：解答题难度：一般来源：奉贤区一模

函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的常数，当0≤x≤1时，f（x）=x（1-x），
（1）若函数y=f（x），x∈R是周期函数，写出符合条件a的值；
（2）求n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，求y=f（x）的表达式y=f_n（x）；
（3）若函数y=f（x）在[0，+∞）上的值域是闭区间，求a的取值范围．

答案

（1）∵f（x+1）=af（x），函数y=f（x），x∈R是周期函数
∴a=±1
当a=1时，f（x+1）=f（x），则T=1（3分）
当a=-1时，f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=f（x），则T=2（6分）
（2）n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时
f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n）（9分）
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）（9分）
（3）∵f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x），
∴-

1

4

|a|n≤fn(x)≤

1

4

|a|n（14分）
当|a|＞1时f（x）∈（-∞，+∞）舍去
当a=1时f(x)∈[0，

1

4

]符合
当a=-1时f(x)∈[-

1

4

，

1

4

]符合
当0＜a＜1时f(x)∈[0，

1

4

]符合
当-1＜a＜0时f(x)∈[0，

1

4

]符合
∴a∈[-1，0）∪（0，1]（18分）