题目

题型：填空题难度：一般来源：东城区模拟

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（a＜b），使得 {y|y=f（x）．x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列三个函数：①f（x）=x³；②f（x）=cos

π

2

x；③f（x）=e^x．其中存在稳定区间的函数有______．（写出所有正确的序号）

答案

对于①，当区间M=[-1，1]时，
最小值为f（-1）=-1且最小值为f（1）=1，
因此函数的值域为[-1，1]=M，符合题意；
对于②，f（x）=cos

π

2

x
∵函数在（0，1）上是减函数，且f（0）=cos0=1，f（1）=cos

π

2

=0
∴当区间M=[0，1]时，可得函数的值域为=M，可得②符合题意；
对于③，因为f（x）=e^x是R上的增函数，
且e^x＞x恒成立，故不存在区间M=[a，b]使得当x∈M时值域恰好是M
因此可得③不符合题意．
故答案为：①②