题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

若log_a6•log₆7•log₇8=-3，设函数f（x）=-a^2x+4a^x+5
（1）求a的值；
（2）当x≥-2时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈R时，求函数f（x）的单调递增区间．

答案

（1）∵log_a6•log₆7•log₇8=-3，∴

lg6

lga

×

lg7

lg6

×

lg8

lg7

=-3，∴

lg23

lga

=-3．，∴lga=-lg2，∴a=2-1=

1

2

；
（2）∵a=

1

2

，可设(

1

2

)x=t，又x≥-2，∴0＜t≤(

1

2

)-2=4．
从而函数f（x）=-a^2x+4a^x+5可化为f（t）=-t²+4t+5=-（t-2）²+9，t∈（0，4]．
可知f（t）在（0，2]上单调递增，∴5＜f（t）≤9；
在[2，4]上单调递减，∴5≤f（t）≤9；
∴f（t）的值域为[5，9]．
即函数f（x）的值域为[5，9]．
（3）当x∈（-∞，-1]时，t=(

1

2

)x单调递减且值域为[2，+∞），
而函数f（t）=-（t-2）²+9在t∈[2，+∞）上单调递减，
故函数f（x）在x∈（-∞，-1]上单调递增，
因此函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1]．