题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，B={x|

x-a

x-(a2+1)

＜0}．
（Ⅰ） 当a=2时，求A∩B；
（Ⅱ） 求使B⊆A的实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）当a=2时，A={x|2＜x＜7}，B={x|2＜x＜5}
∴A∩B={x|2＜x＜5}（4分）
（Ⅱ）∵（a²+1）-a=（a-

1

2

）²+

3

4

＞0，即a²+1＞a
∴B={x|a＜x＜a²+1}
①当3a+1=2，即a=

1

3

时A=Φ，不存在a使B⊆A（6分）
②当3a+1＞2，即a＞

1

3

时A={x|2＜x＜3a+1}由B⊆A得：

a≥2 a2+1≤3a+1

⇒2≤a≤3（8分）
③当3a+1＜2，即a＜

1

3

时A={x|3a+1＜x＜2}由B⊆A得

3a+1≤a a2+1≤2

⇒-1≤a≤-

1

2

⊂（12分）
综上，a的范围为：[-1，-

1

2

]∪[2，3]（14分）