题目
题型:解答题难度:困难来源:专项题
(1)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N*)是否具有性质P?并说明理由;
(2)当n=1000时,
① 若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由;
②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值。
答案
因为对任意不大于10的正整数m,
都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+ m,使得|b1-b2|=m成立
集合C={x∈A│x=3k-1,k∈N*)具有性质P
因为可取m=1<10,对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1,c2=3k2-1,k1,k2∈N*
都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1。
(2)当n=1000时,则A={1,2,3,…,1999,2000},
①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈s}一定具有性质P
首先因为T={2001-x|x∈S},任取t=2001-x0∈T,其中x0∈S,
因为SA,所以x0∈{1,2,3,…,2000},
从而1≤2001-x0≤2000,即t∈A,
所以TA
由S具有性质P,可知存在不大于1000的正整数m,使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m
对于上述正整数m,
从集合T={2001-x|x∈S)中任取一对元素t1=2001-x1,t2=2001-x2,其中x1,x2∈S,
则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m,
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P。
②设集合S有k个元素,由第①问知,若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S)一定具有性质P
任给x∈S,1≤x≤2000,则x与2001-x中必有一个不超过1000,
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000,
不妨设s中有t(t≥)个元素b1,b2,…,bt不超过1000
由集合S具有性质P,可知存在正整数m≤1000,
使得对S中任意两个元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,
所以一定有b1+m,b2+m,…,bt+mS
又bi+m≤1000+1000=2000,
故b1+m,b2+m,…,bt+m∈A,
即集合A中至少有t个元素不在子集S中,
因此k+≤k+t≤2000,
所以k+≤2000,得k≤1333,
当S={1,2,…,665,666,1334,…,1999,2000}时,
取m=667,则易知对集合S中任意两个元素y1,y2,
都有|y1-y2|≠667,即集合S具有性质P,
而此时集合S中有1333个元素,
因此集合S元素个数的最大值是1333。
核心考点
试题【已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*),对于A的一个子集S:若存在不大于n的正整数m,使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m,则称】;主要考察你对集合的概念与表示等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当n=10时,试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}是否具有性质P?并说明理由;
(2)当n=1 000时,
①若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P?并说明理由;
②若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值。
B.8
C.7
D.6
给出如下三个命题:①当m=1,则S={1};②当m=-,则≤l≤1;③若l=,则≤m≤0;
其中正确的命题的个数为
B.1
C.2
D.3
(1)分别求集合A、B;
(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.
B、6
C、12
D、18
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