题目

题型：不详难度：来源：

方程组

6x-y-z=20 x2+y2+z2=1979

的所有正整数解是______．

答案

∵

6x-y-z=20 x2+y2+z2=1979

⇒

y+z=6x-20 y2+z2=1979-x2

∵（y-z）²≥0⇒2yz≤y²+z²⇒2yz+y²+z²=2（y²+z²）⇒（y+z）²≤2（y²+z²）
∴（y+z）²=（6x-20）²≤2（y²+z²）=2（1979-x²）
于是（6x-20）²≤2（1979-x²）≤2×1978＜63²

注解到不等式（y+z）²≤2（y²+z²）有（y+z）²=（6x-20）²≤2（y²+z²）=2（1979-x²），
于是（6x-20）²≤2（1979-x²）≤2×1978＜63²，即-63＜6x-20＜63
又∵y+z=6x-20是正整数
∴0＜6x-20＜63，即

20

4

＜x＜

83

6

，从而4≤x≤13．
再由y+z为偶数，从而y²+z²为偶数，x²为奇数，进而x为奇数．
∴x=5，7，9，11，13
①当x=5时，

y+z=10 y2+z2=1854

，显然y、z正整数解不存在．
②当x=7时，

y+z=22 y2+z2=1830

，显然y、z正整数解不存在．

③当x=9时，

y+z=34 y2+z2=1898

，显然y、z正整数解不存在．

④当x=11时，解得

x1=11 y1=3 z1=43

或

x2=11 y2=43 z2=3

；
⑤当x=13时，解得

x3=13 y3=21 z3=37

或

x4=13 y4=37 z4=21

．
故答案为

x1=11 y1=3 z1=43

x2=11 y2=43 z2=3

x3=13 y3=21 z3=37

x4=13 y4=37 z4=21