题目

题型：期中题难度：来源：

提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP=AD时（如图②）：
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP= S△_ABD，
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA，
_∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四边形ABCD}-S_△ABD-S_△CDA
=S_{四边形ABCD}-（S_{四边形ABCD}-S_△DBC）-（S_{四边形ABCD}-S_△ABC）
=S_△DBC+S_△ABC；
（2）当AP=AD时，探求S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP=AD时，S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式为_{：__________；}
（4）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探求S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP=AD（0≤≤1）时，S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系式为：________。

答案

解：（2）∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP= S_△ABD，
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA，
∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四边形ABCD}-S_△ABD-S_△CDA
=S_{四边形ABCD}-（S_{四边形ABCD}-S_△DBC）-（S_{四边形ABCD}-S_△ABC）
=S_△DBC+S_△ABC，
∴S△PBC= S△DBC+ S△ABC
（3）S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC；
（4）S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC；
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=S△_ABD，
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四边形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四边形ABCD}-S_△ABD-S_△CDA
=S_{四边形ABCD}-（S_{四边形ABCD}-S_△DBC）-（S_{四边形ABCD}-S_△ABC）
=S△DBC+S△ABC，
∴S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC
问题解决：S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC。