题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF。
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE， ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°，
即∠GAF=∠_________，
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌_______，
∴_________=EF，
故DE+BF=EF；
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF，请直接写出你的猜想（不必说明理由）。

答案

解：（1）EAF、△EAF、GF；（2）DE+BF=EF，证明如下：
假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG， 此时AB与AD重合，
由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
∴点G，B，F在同一条直线上，
∵∠EAF=，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF，
即，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=，
即∠GAF=∠EAF，
又∵AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF，
∴DE+BF=EF；（3）当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF。