题目

题型：黑龙江省中考真题难度：来源：

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG。
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明。

答案

解：（1）EG=CG，EG⊥CG；
（2）EG=CG，EG⊥CG，
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形，
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（3）可知，△BEF为等腰直角三角形，
∴BE=EF，
∴EF=CM，
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=FD=FG，
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD，
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°，
又FG=DG，
∠CMG=∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC，
∴△GFE≌△GMC，
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC，
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG。