题目

题型：江西省中考真题难度：来源：

课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题。
实验与论证：设旋转角∠A₁A₀B₁=α（α＜∠A₁A₀A₂），θ₃，θ₄，θ₅，θ₆所表示的角如图所示。
（1）用含α的式子表示角的度数：θ₃=_________，θ₄=________，θ₅=_________；
（2）图1-图4中，连接A₀H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想：设正n边形A₀A₁A₂…A_n-1与正n边形A₀B₁B₂…B_n-1重合（其中A₁与B₁重合），现将正n边形A₀B₁B₂…B_n-1绕顶点A₀逆时针旋转α（0°＜α＜）。
（3）设θ_n与上述“θ₃，θ₄，…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数；
（4）试猜想在正n边形的情况下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1），，；
（2）选图1：图1中有直线垂直平分，证明如下：
证明：∵与是全等的等边三角形
∴
∴
又∵
∴
∴
∴点H在线段的垂直平分线上
又∵，
∴点在线段的垂直平分线上
∴直线垂直平分。（答案不唯一）
（3）当n为奇数时，
当n为偶数时，。
（4）存在
当n为奇数时，直线垂直平分
当n为偶数时，直线垂直平分。