题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2：1），∠BAD=120°，对角线均在坐标轴上，抛物线经过AD的中点M。
（1）填空：A点坐标为______，D点坐标为______；
（2）操作：如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°），并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q，
探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出α的值；若不存在，说明理由；
探究2：设AP=x，四边形OPDQ的面积为s，求s与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围。

答案

解：（1）A（0，2），D（，0）；
（2）探究1：当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形
理由如下：
∵两菱形的位似比为2：1，OA=2，OD=，菱形ABCD边长为4，∠BAO=60°
∴菱形EFGH的边长EF=AD=2，∠FEO=60°
∵在旋转过程中EF的长和∠FEO的大小始终不变
∴当射线OE旋转到经过M点时，P与M重合，AM=AP=2
△AOP为等边三角形，∠APO=∠AOP=60°
那么，∠APO=∠FEO=60°，则EF∥AP
又∵EF=AM=2
∴当旋转角度α=∠AOP=60°时，EF平行且等于AP
∴α=60°时，四边形AFEP为平行四边形。
探究2：过P点作PR⊥y轴于R，过Q作QT⊥x轴于T，设TQ=y，则：
PR=AP·sin60°=，OR=OA-AR=2-AP·cos60°=2-x
OT=OD-DT=-TQ·tan60°=
∵它绕对称中心O旋转时∠POR=∠QOT
∴Rt△POR∽Rt△QOT
∴
∴
化简得：
∴S==
=
S与x的函数关系式为：S=（0＜x＜4）。