题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0）．将点P₀绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P₁，延长OP₁到点P=2，使OP₂=2OP₁；再将点P₂绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P₃，延长OP₃到点P₄，使OP₄=2OP₃；…如此继续下去．求：（1）点P₂的坐标；（2）点P₂₀₀₃的坐标．

答案

（1）设P₂的坐标为（x，y），作P₂M⊥x轴，垂足为M．
∵OP₂=2OP₁=2OP_O=2×1=2．∠P₂OM=30°，
∴y=MP₂=2sin30°=1，x=OM=2cos30°=

3

，
∴P₂的坐标为（

3

，1）；

（2）按照这样的变化规律，点P₂₃、P₂₄又回到了x轴的正半轴上，
∵2003=24×83+11，
∴点P₂₀₀₃落在x轴的负半轴上，
∵OP₃=OP₂=2，OP₅=OP₄=2²，OP₇=OP₆=2³，…
∴OP₂₀₀₃=OP₂₀₀₂=2¹⁰⁰¹，
∴点P₂₀₀₃的坐标为（-2¹⁰⁰¹，0）．