题目

题型：不详难度：来源：

如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB=12，AE=6

2

．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤45°）
（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE=DG；
（2）在旋转的过程中，当∠BEA=120°时，试求BE的长；
（3）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转45°，请直接写出旋转过程中点Q运动的路线长；
（4）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF=BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由．（点Q即（3）中的点）

答案

（1）证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，
AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∠DAG+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，

AB=AD ∠BAE=∠DAG AE=AG

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；

（2）如图，过点A作AH⊥BE交BE的延长线于H，
∵∠BEA=120°，
∴∠AEH=180°-120°=60°，
∵AE=6

2

，
∴AH=AE•sin60°=6

2

×

3

2

=3

6

，
EH=AE•cos60°=6

2

×

1

2

=3

2

，
在Rt△ABH中，BH=

AB2-AH2

=

122-(3 6 )2

=

90

=3

10

，
∴BE=BH-EH=3

10

-3

2

；

（3）∵△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
∴∠BQD=∠BAD=90°，
∴点Q的运动轨迹为以BD为直径的

AD

，所对的圆心角是90°，
∵AB=12，
∴BD=

2

AB=12

2

，
∴旋转过程中点Q运动的路线长=

90•π•12 2

360

=3

2

π；

（4）由勾股定理得，AF=

2

AE=

2

×6

2

=12，
∵BF=BC=12，
∴AB=AF=BF=12，
∴△ABF是等边三角形，
又∵AE=EF，
∴直线BE是AF的垂直平分线，
∴∠ABQ=

1

2

∠BAF=30°，
设BQ与AD相交于H，
则AH=AB•tan30°=12×

3

3

=4

3

，
∴DH=AD-AH=12-4

3

，
在Rt△DQH中，DQ=DH•cos30°=（12-4

3

）×

3

2

=6

3

-6．