题目

题型：不详难度：来源：

如图13-1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE， AG⊥CE.
(1)当正方形GFED绕D旋转到如图13-2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(2)当正方形GFED绕D旋转到如图13-3的位置，点F在边AD上，延长CE交AG于H，交AD于M.
①求证：AG⊥CH；
②当AD=4，DG=时，求CM的长．

答案

（1）成立．  
证明：四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，∴AD=CD．DG=DE． 
∵∠GDA+∠ADE＝90°，∠CDE+∠ADE＝90°，∴∠GAD＝∠CDE．
∴△ADG≌△CDE，∴AG＝CE．
（2）①证明：由（1）知：△ADG≌△CDE，∴∠GAD＝∠DCE．
∵∠AMH＝∠CMD，∴∠AHM＝∠CDM=90°．
∴CH⊥AG．
②如图，过点E作EK∥MD交CD于点K．

∵∠FDE=45°，∴∠EDK=45°．∵AD=4， DG=，
∴EK=DK=1．CK=3．
∵△CEK∽△CMD，∴，∴，
∴，∴．

解析

（1）证出△ADG≌△CDE，从而得出AG＝CE成立；
（2）①利用△ADG≌△CDE得出∠GAD＝∠DCE，从而证出∠AHM＝∠CDM=90°，得出CH⊥AG；
②过点E作EK∥MD交CD于点K，先证出，从而得出MD的长，再根据勾股定理求出CM的长。