题目

题型：四川省期末题难度：来源：

如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30^。，∠APB=60^。。
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长。

答案

.解：（1）连接OB
             ∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30^。
            ∴∠AOB=180^。-30^。-30^。=120^。
             ∵PA切⊙O于点A
            ∴OA⊥PA，
            ∴∠OAP=90^。
             ∵四边形的内角和为360^。 ∴∠OBP=360^。-90^。-60°-120^。=90^。
          ∴OB⊥PB 又∵点B是⊙O上的一点 ∴PB是⊙O的切线
    （2）连接OP
            ∵ PA、PB是⊙O的切线， 
            ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30^。
           在Rt△OAP中，∠OAP=90^。，∠OPA=30^。 ∴OP=2OA=2×2=4
           ∴PA=
           ∵PA=PB，∠APB=60^。
               ∴PA=PB=AB=2