题目

题型：北京中考真题难度：来源：

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB。
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长。

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答案

解：（1）连结AE，
∵ AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AB=AC，
∴∠1=∠CAB
∵∠CBF=∠CAB
∴∠1=∠CBF，
∴∠CBF+∠2=90°
∵即∠ABF=90°，
∵AB是圆O的直径，
∴直线BF是圆O的切线；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=，
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB·sin∠1=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=，
∴sin∠2=，cos∠2=，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC//BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴，
∴BF=。