题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2。

（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y，请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切，设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由。

答案

解：（1）“略”；

（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P₁（不为∠ABC的顶点），
∵OX=BOsin∠ABM，P₁Z=BP₁sin∠ABM，
当BP₁＞BO时，P₁Z＞OX，即P与B的距离越大，⊙P的面积越大，
这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点，
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，即这时的⊙P是符合题意的圆，这时⊙P的面积就是S的最大值，
∵∠A=∠A，∠BCA=∠AEP=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△APE，
∴，
∵AC=1，BC=2，
∴AB=，
设PC=x，则PA=AC-PC=1-x，PC=PE，
∴，
∴；
②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则，
∴；
③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，设PF=z，则，∴z=，
由①，②，③可知：∵＞2，∴+2＞+1＞3，
∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，
∴，
∴z＞y＞x，
∴⊙P的面积S的最大值为。