题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。
（1） 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式；
（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
（3）是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线，
∴OA⊥AD，BD⊥AD，
又∵OA⊥OB，
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，
∴四边形OADB是矩形，
∵⊙C的半径为2，
∴AD=OB=4，
∵点P在直线l上，
∴点P的坐标为（4，p），
又∵点P也在直线AP上，
∴p=4k+3； （2）连接DN，
∵AD是⊙C的直径，
∴∠AND=90°，
∵∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN，
∴∠AND=∠ABD，
又∵∠ADN=∠AMN，
∴∠ABD=∠AMN，
∵∠MAN=∠BAP，
∴△AMN∽△ABP；

（3）存在，
理由如下：
把x=0代入y=kx+3，得y=3，即OA=BD=3，
∴AB=，
∵ S_△ABD=AB·DN=AD·DB，
∴DN=，
∴AN²=AD²-DN²=，
∵△AMN∽△ABP，
∴
即，
当点P在B点上方时，
∵AP²=AD²+PD²=AD²+（PB-BD）²=4²+（4k+3-3）²=16（k²+1），
或AP²=AD²+PD²= AD²+（BD-PB）²=4²+（3-4k-3）²=16（k²+1），
S_△ABP=PB·AD=（4k+3）×4=2（4k+3），
∴，
整理得k²-4k-2=0，
解得k₁=2+，k₂=2-，
当点P在B 点下方时，
∵AP²=AD²+PD²=4²+（3-4k-3）²=16（k²+1），
S_△ABP=PB·AD=[-（4k+3）]×4=-2（4k+3），
∴，
整理得k²+1=-（4k+3），
解得k=-2，
综合以上所得，当k=2±或k=-2时，△AMN的面积等于。