题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由。

答案

解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠BAE=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB；
（2）∵△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB²=AD·AE=（AE+ED）·AE=（2+4）×2=12，
∴AB=；
（3）直线FA与⊙O相切。理由如下：
连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴在Rt△ABD中，，
∴BF=BO=，
∵AB=，
∴BF=BO=AB，
∴∠OAF=90°，
又∵AO是⊙O的半径，
∴直线FA与⊙O相切。