题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F。
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径。

答案

解：（1）证明：连接OE，则OB=OE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠OEB=∠C =60°，
∴OE∥AC，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∴∠OEF=∠EFC=90°，
∴EF是⊙O的切线； （2）连接DF，
∵DF是⊙O的切线，
∴∠ADF=90°，
设⊙O的半径为r，则BE=r，EC=4-r，AD=4-2r，
在Rt△ADF中，
∵∠A=60°，
∴AF=2AD=8-4r，
∴FC=4-（8-4r）=4r-4，
在Rt△CEF中，
∵∠C=60°，
∴EC=2FC，
∴4-r=2（4r-4），
解得，
∴⊙O的半径是。