题目
题型:湖北省中考真题难度:来源:
(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切,设⊙P的面积为s,你认为能否确定s的最大值?若能,请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由。
答案
解:(1)“略”;
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时,由角平分线的性质,
动点P是∠ABC的平分线BM上的点。
如图1,在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1(不为∠ABC的顶点),
∵OX=BOsin∠ABM,P1Z=BP1sin∠ABM,
当BP1>BO时,P1Z>OX,即P与B的距离越大,⊙P的面积越大,
这时,BM与AC的交点P是符合题意的,BP长度最大的点;
如图2,∵∠BPA>90°,过点P作PE⊥AB,垂足为E,则E在边AB上,
∴以P为圆心、PC为半径作圆,则⊙P与边CB相切于C,与边AB相切于E,
即这时的⊙P是符合题意的圆,
这时⊙P的面积就是S的最大值,
∵∠A=∠A,∠BCA=∠AEP=90°,
∴ Rt△ABC∽Rt△APE,
∴,
∵AC=1,BC=2,
∴AB=,
设PC=x,则PA=AC-PC=1-x,PC=PE,
∴,∴x=;
②如图3,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时,设PC=y,
则,∴y=;
③如图4,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时,设PF=z,
则,∴z=,
由①,②,③可知:∵>2,
∴+2>+1>3,
∵当分子、分母都为正数时,若分子相同,则分母越小,这个分数越大,
∴2,
∴ z>y>x,
∴⊙P的面积S的最大值为。
核心考点
试题【如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2。(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y,请你在图2中作出并标明⊙O的圆心】;主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求b的值;
(2)求x1·x2的值;
(3)分别过M、N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是M1、N1,判断△M1FN1的形状,并证明你的结论;
(4)对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切,如果有,请求出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由。
(2)若tan∠ABE=,求sin∠E。
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