题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O₁，O₂，P是AB的中点.
（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使∠AO₁E=∠BO₂F，则有结论①△PO₁E≌△FO₂P，②四边形PO₁CO₂是菱形，请给出结论②的证明；
（2）如图2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；
（3）如图3，若PC是⊙O₁的切线，求证：AB²=BC²+3AC²。

答案

解：（1）∵P、O₁、O₂分别为AB、AC、BC的中点，
∴AP=BP，AO₁=BO₂，，，
∴四边形PO₁CO₂是平行四边形，
∵AC=BC，
∴PO₁=PO₂，
∴四边形PO₁CO₂是菱形；（2）结论①成立，结论②不成立，
结论①证明如下：
∵P、O₁、O₂分别为AB、AC、BC的中点，
∴AP=BP，AO₁=BO₂，，，
即PO₁=BO₂，AO₁=PO₂，
∴△APO₁≌△BPO₂（SSS）；（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，
∴；，
过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点，
∵PC⊥AD，BD⊥AD，
∴PC∥BD，
又∵AP=BP，
∴CD=a，BD=2b，BC²=2a²+4b²，
∴，
∴AB²=BC²+3AC²。