题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3），动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动，若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动。
（1）当P在线段OA上运动时，求直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；
（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分到与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形。

答案

解：（1）设经过t秒，P点坐标为（3t，0），
直线l从AB位置向x轴负方向作匀速平移运动时与x轴交点为F（4-t，0），
则
∵圆的半径为1，
∴要直线l与圆相交即要
∴当F在P左侧，PF的距离为
当F在P左侧，PF的距离为
∴当P在线段OA上运动时，直线l与以P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围为；
（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，不可能为菱形，
理由是：易知CA=t，PA=3t-4，OB=5（∵OA=4，BA=3）
∵要使CPBD为菱形必须其首先应是平行四边形，已知DC∥BP，从而要CP∥DB，
∴必须
既要，此时，
∴此时四边形CPBD邻边CP≠BP
从上可知，PB:CB:PC=3:4:5，
故设PB=3m，CB=4m，PC=5m，
则AP=3-3m

 由
令
即将直线l的出发时间推迟秒，四边形CPBD会是菱形。