题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6。
（1）求边AD、BC的长；
（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）过D作DF⊥BC于F，
在Rt△DFC中，
DF=AB=8，FC=BC-AD=6
∴DC²=6²+8²=100，即DC=10，
设AD=c，则DE=AD=x，EC=BC=x+6
∴x+（x+6）=10
∴x=2
∴AD=2，BC=2+6=8；（2）存在符合条件的P点设AP=y，则BP=8-y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：
①△ADP∽△BCP时，
∴y=，
②△ADP∽△BPC时，
∴y=4，
故存在符合条件的点P，此时AP=或4。