题目

题型：山西省中考真题难度：来源：

如图，点O是已知线段AB上一点，以OA为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段OB为直径的圆与⊙O的一个交点为D，过点A作AB的垂线交BD的延长线于点M。
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC，BD的长度是关于x的方程x²-6x+8=0的两个根，求⊙O的半径；
（3）在上述条件下，求线段MD的长。

答案

解：（1）连接OD，
∵OB是直径，
∴∠ODB=90°，
∴，且OD为⊙O的半径，
∴BD是圆的切线；
（2）解方程，得，
∵BD，BC分别是上述方程的两个根，由图形可知BC<BD，
又∵BD，BCA分别是⊙O的切线和割线，
∴由切割线定理，得，
即，
∴AB=8
∴半径；
（3）∵，
∴∠A=90°
又∵∠ODB=90°，
∴∠ODB=∠A
在与中，
，且∠B是公共角，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，且AC为⊙O的直径，
∴MA与⊙O相切于点，
又∵MD与⊙O相切，
∴。